収束について

何度か話題になってますし、自分も何度か意見を書いたことはありますが、ブログに書いたことは無かったので改めて書いてみようと思います。

まず大前提として、「ブレ」はハンド数の平方根に比例して大きくなります。

標準偏差という概念があるのですが、それはあるハンド数をこなしたときに、平均的にどれくらい平均値から離れるか、というものです。

例えば、コインの裏表のゲームをしたとしましょう。

１００回繰り返すと、不正がない限り平均で５０回表が出ます。

そして、この問題の場合、標準偏差は５です。

つまり、５０回からのブレを計算した場合、その平均値は５となるのです。

さらに、平均値（＝期待値）から１標準偏差以内である、４５回から５５回までの間に来る割合はざっくり６８％、２×標準偏差以内の４０回から６０回までの間にくる割合はざっくり９５％となります。

五分のオールインを１００回やって３９回以下しか勝てなかったり６１回以上勝てたりするのは合わせて５％しかないんです。

ところでこの標準偏差、ハンド数のルートに比例して大きくなるのです。

１００回なら標準偏差は５でしたが、４００回なら２倍の１０、９００回なら３倍の１５、１００００回なら１０倍の５０となるのです。

つまり、１００回のオールインをした場合５回くらいブレるのが普通ですが、１００００回オールインを場合、５０回分くらいブレるのが普通なのです。

「確率は収束するって言うじゃない？おかしいじゃん？」

って思うかも知れません。しかしですよ、１回当たりで見ると１００回のときは１００回中５回のブレ、だいたい５％ですが、１００００回のオールインなら０．５％。

そう、トータルでは平均との差は増えていくのですが、１回あたり（１００回あたり、でもいいけど）で見ると、平均との差は小さくなっていくのです。

さて、１００回コイントスをして、５８回表がでました。この時、４０回から６０回の間に来る確率は９５％なので、まあ確率の範囲内と言えるでしょう。

では表が６２回出たら？

３５回から６５回の間に来る確率は０．５％くらい。そろそろイカサマを疑いますが、確証があるほどではありません。

しかし、表が７５回出たら？

これが本当に起こったのなら、確率のブレと言うよりはこのコインで表が出る確率は５０％よりは高い（＝イカサマ）可能性の方が高いと言えるでしょう。

では逆に、表が出る確率が５３％のコインを使ってこのゲームをしたとしましょう。

１００回すると、期待値は５３回ですが、標準偏差は５なので、４８から５８回に来る確率が６８％。期待値はプラスですが、まだ負ける可能性は普通にあります。

この状態で、１００回は確率が収束したと言えるでしょうか。普通は言わないでしょう。

９００回すると、期待値は４７７回ですが、標準偏差は１５なので、４６２回から４９２回の間に６８％、４４７回から５０７回の間に９５％。

まあまあ負ける可能性は低そうです。これは収束したと言えるのかどうか、ひとそれぞれな気がします。

１００００回すると、期待値は５３００回。標準偏差は５０なので、５２５０回から５３５０回の間に来る確率が６８％。５２００回から５４００回の間に来る確率は９５％。５１５０回から５４５０回の間に来る確率は９９．５％。

つまり、１００００回やれば、必勝と言っていいのです。

この状態だと、多くの人は収束したと呼ぶんじゃないでしょうか。

つまり、一般的に収束したと呼ぶには、その人がどの程度勝てるかに依るのです。

そして、トータルでマイナスの人は、どんなにプレーしても収束することはないとも言えるんじゃないでしょうか。